Fascinació pels nombres primers.

El número 2011 es un primo. El anterior año primo fue 2003 y el siguiente será 2017. En el siglo XXI hay –habrá– un total de 14 años primos: 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089 y 2099. En el siglo XX hubo 13 años primos. ¿Habrá 15 en el siglo XXII? No, sólo diez. El porcentaje de primos disminuye a medida que avanzamos en la serie de los números naturales, aunque sin seguir una pauta estricta (como acabamos de ver, en el intervalo 2001-2100 hay uno más que en el intervalo 1901-2000, en contra de la tendencia general). No hay pautas estrictas en la serie de los números primos, y eso es lo que la hace tan escurridiza y tan fascinante.

Sabemos que hay infinitos primos desde los tiempos de Euclides, que lo demostró de una manera parecida a esta: supongamos que n es el mayor de los números primos; si multiplicamos los n primeros números, obtenemos un número (que se llama “factorial de n” y se expresa así: n!) que obviamente es divisible por todos y cada uno de los n primeros, puesto que los contiene como factores. Consideremos ahora el número n!+1: dará un resto 1 al dividirlo por cualquiera de los n primeros números, y por lo tanto no es divisible por ninguno de ellos: o es primo, o si es compuesto tiene que ser divisible por primos mayores que n. De donde se desprende que ningún número n puede ser el mayor de los primos, lo que equivale a decir que su serie es infinita.

Además de primo, 2011 es la suma de tres primos consecutivos: 661, 673 y 677. Es evidente que no todos los primos pueden expresarse como suma de primos consecutivos y que una suma de primos consecutivos no siempre es un número primo; pero ¿pueden expresarse todos los números primos como suma de otros tres primos? De ser cierta la conjetura de Goldbach, sí. Según esta conjetura, formulada por el matemático prusiano Christian Goldbach a mediados del siglo XVIII, todo número par mayor que 2 es expresable como la suma de dos primos; por lo tanto, cualquier número mayor que 5 es expresable como la suma de tres primos. Siempre que la conjetura sea cierta, claro: los matemáticos llevan casi tres siglos intentado sin éxito demostrarla (o refutarla), y algunos la consideran el problema más difícil de la historia de las matemáticas. Pero esa es otra columna…

Por cierto, 2011 también puede expresarse como la suma de 11 primos consecutivos. ¿Cuáles son?

Carlos Frabetti, El juego de la ciencia, Público, 13/02/2011