Descartes i el seu sistema de coordenades.
El más famoso de los tratados de Descartes, el Discurso del método, contiene el apéndice La geometría que relaciona por primera vez nociones del álgebra con objetos geométricos, dando lugar a la aparición de la geometría analítica o cartesiana (de Cartesius, Descartes en latín). En esta nueva geometría se identifican los puntos del plano con pares de números (x,y): es un sistema de coordenadas en el que cada par nos da la posición de un punto con respecto a dos rectas perpendiculares fijadas, llamadas ejes de coordenadas. Así, cada par de coordenadas especifica un punto único del plano, y cada punto viene dado por un único par de coordenadas. Descartes había ideado una especie de diccionario entre el álgebra y la geometría, que además de asociar pares de números a puntos, le permitía describir líneas dibujadas en el plano mediante ecuaciones con dos variables —x e y—, y viceversa.
Lo novedoso de este enfoque de la geometría analítica fue que permitió resolver problemas geométricos mediante la exclusiva manipulación de expresiones algebraicas. Hasta ese momento, la geometría dominante era la euclidiana, que usaba la regla y el compás para resolver esos problemas. Y ese método de Descartes funcionó y resultó más práctico gracias que la geometría analítica representa el conjunto de soluciones de una ecuación de dos variables, x e y, mediante una línea en el plano. Por ejemplo, una ecuación del tipo ax+by=c —como por ejemplo 2x+3y=0—, que es una ecuación polinómica de grado 1, tiene como conjunto de soluciones una línea recta, que surge de unir todos los puntos con coordenadas x e y cuyos valores satisfacen esa igualdad. Las circunferencias y el resto de cónicas se representan con ecuaciones polinómicas de grado 2. Un ejemplo es la circunferencia, x2 + y2 = 4, y otro la hipérbola, xy = 1. Gracias al trabajo de Descartes, toda la geometría antigua se tradujo al estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2 —algo que hoy en día se sigue estudiando en las matemáticas de educación secundaria.
De las relaciones que Descartes estableció con otros matemáticos franceses, ninguna fue tan intensa como la que tuvo con Pierre de Fermat, que también realizó importantes contribuciones a la geometría analítica. Fermat había desarrollado una manera de obtener la línea tangente a una curva en cualquiera de sus puntos, pero Descartes creía que aquello no era un auténtico método, así que decidió retar a Fermat —algo relativamente común entre los intelectuales de la época— a que encontrase la tangente en un punto cualquiera de la curva que tiene por ecuación x3 + y3 – 3axy = 0, hoy conocida como el Folium de Descartes. Fermat resolvió el problema, dejando en evidencia a Descartes y demostrando el éxito de su procedimiento. Un método que sentó las bases para que Newton y Leibniz desarrollasen el cálculo infinitesimal.
Bibiana García y Daniel Arias Mosquera, Descartes y el renacimiento de la geometría, bbvaopenmind.com 24/12/2018
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