La veritat de les idees matemàtiques en Descartes.

I el que aquí trobo més digne d'esment és que en mi hi ha moltíssimes idees de certes coses que no poden ser estimades com un pur no-res, encara que potser no existeixen fora del meu pensament, i que no són figuracions meves, encara que jo tingui la llibertat de pensar-les o no, sinó que tenen la seva naturalesa verdadera i immutable. 

Com per exemple, quan imagino un triangle, encara que tal vegada fora del meu pensament no hi hagi una figura com aquesta, i no hi hagi estat mai, no deixa d'haver-hi, en canvi, una certa naturalesa, o forma o essència determinada d'aquesta figura, que és immutable i eterna, que no he inventat jo i que no depèn ni de bon tros del meu esperit; i això ho prova el fet que podem demostrar diverses propietats d'aquest triangle, a saber, que els tres angles són iguals a dos rectes, que l'angle gran s'oposa al costat gran, i altres propietats semblants, que ara, vulgui o no vulgui, reconec amb molta claredat i evidència que en formen part, encara que abans no hi hagi pensat, quan em vaig imaginar per primera vegada un triangle; per tant, no podem dir que me les hagi figurat o inventat.

(les realitats matemàtiques) són alguna cosa i no pur no-res, perquè és evident que tot el que és veritable és alguna cosa, i abans ja he demostrat que totes les coses que conec d'una manera clara i evident són veritables. 

I, de tota manera, encara que no ho hagués demostrat, la naturalesa del meu esperit és fet d'una manera que no sabria evitar de considerar-les veritables mentre les concebés d'una forma clara i distinta.

Descartes, Meditacions Metafísiques (Vna meditació)

Estructura de l'argmentació:

Primer paràgraf (les idees matemàtiques en general): 

a) les idees matemàtiques són un tipus de continguts de la ment (punt de partida idealista). No importa si no existeixen fora de la meva ment (idees adventícies), 

b) sé que no són figuracions meves (idees fàctiques). 

c) Per tant, només poden ser idees innates.

d) tot i que puc no pensar-les, és a dir, no tenir-les presents a la meva ment, són verdaderes (i immutables)

Segon paràgraf (exemple del triangle):

a) pot no existir fora del meu pensament/podria no haver existit mai fora del meu pensament

b) no me l'he inventat

c) tot i així, és una idea immutable i eterna (és una idea innata)

d) demostració: de la idea de triangle puc deduir un seguit d'afirmacions: els tres angles són igual a dos rectes, l'angle gran s'oposa al costat gran ... amb molta claredat i evidència. (afirmar el contrari seria contradictori)

Tercer paràgraf (criteri d'evidència):

a) tot allò que és verdader, existeix

b) tot allò que conec clar i evident és verdader

c) Per tant, tot allò que conec clar i evident existeix

Quart paràgraf (la ment matemàtica):

Si no fos possible la demostració, el mateix funcionament de la meva ment, dirigida pel criteri d'evidència,  m'obliga a concebre les realitats matemàtiques verdaderes i existents. No puc concebre-les d'una altra manera.