Les paradoxes autoreferencials.

Platón: Lo que está diciendo Aristóteles es falso.

Aristóteles: Lo que acaba de decir Platón es verdad [2].

Eres la persona más rica del mundo… Y te lo voy a demostrar utilizando ese método que tanto nos gusta a las gentes de matemáticas: la reducción al absurdo.

Lee estas tres sentencias que, de momento, no sabemos si son verdaderas o falsas:

La tercera frase es verdadera y eres la persona más rica del mundo.

La tercera frase no es verdadera.

Una al menos de las dos primeras frases es verdadera.

Ahora razonemos por reducción al absurdo: Supongamos que la sentencia 3. es falsa; eso significa que ninguna de las frases 1. y 2. es verdadera. Como 2. es falsa, la sentencia 3. es verdadera. Luego la sentencia 3. es a la vez falsa (por hipótesis) y verdadera (lo acabamos de deducir), con lo que llegamos a una contradicción.

Como la hipótesis de que la sentencia 3. es falsa nos lleva a una contradicción, se concluye que 3. debe de ser necesariamente verdadera. Por lo tanto, la sentencia 2. es falsa, y deducimos entonces que la sentencia 1. debe de ser verdadera (ya que al menos una de las sentencias 1. o 2. es verdadera, según afirma 3.). Por lo tanto, como 1. es verdadera, eres la persona más rica del mundo, como queríamos probar.

Sin embargo, conoces a gente mucho más rica que tú… ¿Qué es lo que hemos hecho mal? Nada, ésta es una conocida paradoja llamada autorreferencial: hemos aceptado desde el principio que las sentencias anteriores eran verdaderas o falsas y, sin haber cometido ningún error en el razonamiento, hemos llegado a una contradicción.

La conversación entre Platón y Aristóteles que inicia esta entrada es también autorreferencial: las frases que la componen no pueden ser ni verdaderas ni falsas.

Varias teorías han intentado explicar este tipo de paradojas; una de ellas consiste simplemente en afirmar –por decreto– que este tipo de argumentos no son ni verdaderos ni falsos, y deben suprimirse al ser incorrectos. Sin embargo, se trata de una solución demasiado drástica, ya que no todas las frases autorreferenciales son problemáticas, como por ejemplo:

Estoy escribiendo esta frase.

Existen diferentes propuestas para solucionar esta paradoja, aunque los expertos no consiguen llegar a un acuerdo (ver [2]).

Marta Macho, ¿Te tocó la lotería? Da lo mismo, eres la persona más rica del mundo, Cuaderno de Cultura Científica 23/12/2016

Referencias:

[1] Jean-Paul Delahaye, Vous êtes la personne la plus riche du monde, Accromath 4.1, 2009

[2] Glenn W. Erickson and John A. Fossa, Dictionary of Paradox, University Press Of America 1998

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.