La realitat de les matemàtiques
Los legos vemos las matemáticas como una invención. Los matemáticos suelen verlas como un descubrimiento. Para ellos un grupo abeliano, un espacio vectorial o un número imaginario son objetos reales, cosas que ya existían antes de que su inventor las concibiera y que seguirán ahí tras su muerte, como los edificios y las montañas. Quizá se trate de una especie de deformación profesional, pero incluso si es así merece una reflexión, porque son las propias matemáticas las que persuaden al matemático de su naturaleza corpórea, con su autoconsistencia, su poder creativo y su desconcertante capacidad para predecir el mundo.
Dos rectas que son paralelas aquí seguirán siendo paralelas por más que las prolonguemos. Esta afirmación tan simple e intuitiva se llama quinto postulado de Euclides y se publicó hace 2.300 años, es el fundamento de la geometría convencional. Significa que el espacio es plano, lo que se corresponde muy bien con nuestra percepción cotidiana del mundo. Por eso Euclides la planteó como un axioma, una verdad tan obvia que no requiere demostración.
Pero ahora veamos a dos exploradores distantes que emprenden un viaje hacia el Norte desde el ecuador terrestre. Al principio sus trayectorias son paralelas, pero poco a poco se van acercando hasta que se dan de bruces al llegar al Polo. Sobre la superficie terrestre, dos rectas que son paralelas aquí no siguen siéndolo allí. Y esto no es una complicación fastidiosa del ordenado mundo de Euclides, pues la geometría de las superficies esféricas conduce a una teoría perfectamente autoconsistente y fructífera. Una geometría no euclídea, donde el espacio no es plano sino curvo, pero una geometría de pleno derecho.
El gran matemático del siglo XIX Carl Friedrich Gauss, como varios colegas antes que él, estaba convencido de que el quinto axioma de Euclides, el postulado de las paralelas, no era un verdadero axioma. Bastaba eliminarlo para que surgieran unos objetos matemáticos coherentes e interesantes, unas cosas que parecían pertenecer al mundo real. Le encargó una investigación a fondo a su discípulo Bernhard Riemann y de allí surgió la arquitectura matemática poderosa y elegante que permitió a Einstein, medio siglo después, formular la relatividad general, un mundo no euclídeo en el que, como dijo el físico John Wheeler, la materia le dice al espacio cómo curvarse y el espacio le dice a la materia cómo moverse. Vivimos en ese mundo, de manera que somos la geometría de Riemann hecha carne.
Todo esto es culpa de Galileo, en el fondo. Fue él quien percibió con claridad, y promulgó con vehemencia, que la naturaleza nos habla en el lenguaje de las matemáticas. Los científicos no hacen ahora más que ver fractales por todas partes, pero nadie los veía hasta que los inventó el matemático Georg Cantor. Fibonacci no imaginó la serie que lleva su nombre, donde cada número es la suma de los dos anteriores, para explicar la forma del caracol, pero el caso es que lo hace con precisión. El premio Nobel Roger Penrose piensa que la vida debe basarse en unas leyes matemáticas muy precisas para reproducir unas formas tan complejas e intrincadas a partir de una sola célula. Los objetos matemáticos no solo existen, sino que cada vez existen más.
Javier Sampedro, Y la geometría se hizo carne, El País 05/01/2023
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