La mosca de Descartes

En junio de 1637 se publicó en francés y, de forma anónima, el Discurso del método, cuyo autor era el filósofo y matemático René Descartes. Es una obra trascendental de la filosofía con también una enorme influencia en las matemáticas, debido a uno de los apéndices del libro, titulado La geometría. En él, Descartes propone un sistema que permite usar el álgebra para resolver problemas de geometría, creando una poderosa herramienta —la geometría analítica— que unió dos áreas de las matemáticas hasta ese momento separadas.

René Descartes nació en Francia en 1596 y desde su juventud tuvo una sólida formación en humanidades. Fue un apasionado de la cultura griega y, en concreto, de las grandes obras clásicas de las matemáticas como Los elementos de Euclides, La aritmética de Diofanto, Las cónicas de Apolonio o La colección matemática de Pappus. También estaba al tanto de los nuevos desarrollos de la matemática italiana llevados a cabo por Niccolò Fontana (Tartaglia), Gerolamo Cardano o Franciscus Vieta.

Partiendo de todo este conocimiento, Descartes desarrolló —a la vez que Pierre de Fermat, aunque el papel de este último quedó injustamente borrado de esta historia— la geometría analítica. Esta nos permite describir conceptos geométricos mediante ecuaciones algebraicas. Así, un círculo situado en el centro del plano y con radio uno, se representa por una ecuación x² + y² = 1. Es decir, viene descrito por los puntos de coordenadas (x, y) que cumplen la ecuación anterior.

De hecho, la noción de coordenadas fue introducida rigurosamente en La geometría, con la definición de unos ejes coordenados, que podían ser oblicuos. Cuenta la leyenda que Descartes —que acostumbraba a estar mucho tiempo tumbado en su cama por motivos de salud—, ideó este concepto al preguntarse cómo podría describir la posición de una mosca que se posaba en su techo. Decidió que las esquinas del techo podrían servir como referencia para indicar de forma precisa el lugar en el que estaba el insecto, solo con unos números —su distancia, medida perpendicularmente, a una esquina vertical y a otra horizontal—.

Con esta nueva visión analítica, la geometría clásica dejó de ser una matemática trazada en papel en la que se razonaba en términos de figuras y construcciones con regla y compás, como había sido hasta el momento, para entenderse de manera mucho más abstracta, usando todo el potencial del álgebra. Así lo recalca Descartes en el apéndice: “Todos los problemas de geometría pueden reducirse fácilmente a términos tales, que no es necesario conocer de antemano más que las longitudes de algunos segmentos para su construcción”.

De este modo, la geometría analítica permite explorar las propiedades de un objeto geométrico realizando cálculos algebraicos directamente en la ecuación que lo describe. Esto permitió utilizar toda la potencia del álgebra para tratar conceptos hasta ese momento muy escurridizos, que solo se estudiaban con los métodos de la geometría clásica de la antigua Grecia. También, Descartes pudo afirmar que todas las ecuaciones cuadráticas —es decir, las ecuaciones polinómicas de grado dos, como x² + y² = 1— corresponden a las cónicas introducidas por Apolonio.

En este texto, el matemático incorporó por primera vez notaciones que nos resultan conocidas, como las últimas letras del alfabeto x, y, z para denotar las incógnitas o las primeras letras a, b, c para las constantes. La geometría es, seguramente, el primer texto que se puede leer sin dificultades por un estudiante actual y ello es debido a que hemos adoptado casi en su totalidad la notación empleada en ella. Además, desvinculaba las potencias de un número de su significado geométrico, por ejemplo, una potencia al cuadrado se desvinculaba con la noción de área, o al cubo de la noción de volumen, como se había hecho hasta el momento.

David Martín de Diego, El apéndice del 'Discurso del método' que revolucionó las matemáticas, El País 04/07/2023